Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например, 27 X 8) выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (20X8 = 160), затем единицы (7*8 =56) и оба результата складывают.

Еще примеры:

34*7=30*7+4*7=210+28=238

17*6=40*6+7*6=240+42=282

Полезно знать на память таблицу умножения до 19*9:

Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.

Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют действие, как указано в § 1. Например:

6*28=28*6=120+48=168

Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:

29*12=29*10+29*2=290+58= 348

41*16=41*10+41*6 = 410+246 =656

(или 41*16=16*41 = 16*40+16*1=640+16=656

Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.

Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (напр., 14 = 2*7), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз (ср. § 3). Например:

45*14 =90*7=630

Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:

112*4 =224*2=448

335*4 = 670*2 =1340

Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например:

217*8 = 434*4=868*2=1736

(Eще удобнее: 217*8=200*8 +17*8= 1600*13=1736.

Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например:

76:4 =38:2=19

236:4=118:2=59

Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например:

464:8=232:4=116:2=58

516:8=258:4=129:2= 64 1/2

Чтобы устно умножить число на 5 умножают его на 10/2, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. Например:

74*5= 740:2= 370

243*5=2430:2=1215

При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль. Например:

74X5 = 74/2*10=370

Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на 100/4 , т. е.—если число кратно 4-х —делят на 4 и к частному приписывают два ноля. Например:

72*25=72/4*100= 1800

Если же число при делении на 4 дает остаток, то прибавляют

при остатке: к частному

1 25

2 50

3 75

Основание приема ясно из того, что

100:4=25;

200:4=50;

300:4=75

Чтобы устно умножить число на 1¹/₂ прибавляют к множимому его половину. Например:

34*1¹/₂ = 34 + 17=51

23*1¹/₂=23 + 11¹/₂ = 34¹/₂ (или 34,5)

Чтобы устно умножить число на 1¹/₄ Прибавляют к множимому его четверть. Например:

48*1¹/₄ =48 +12=60

58*1¹/₄ = 58+14 ¹/₂=72¹/₂ или 72,5

Чтобы устно умножить число на 2¹/₂. к удвоенному числу прибавляют половину множимого.

Например: 18*2¹/₂.=36+9= 45;

39*2¹/₂.= 78 + 19'¹/₂.= 97¹/₂ (или 97,5)

Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам:

18*2¹/₂ = 90:2 = 45

Чтобы устно умножить число на ³/₄ (т. е. чтобы найти ³/₄ этого числа), умножают число на 1¹_/2 и делит пополам. Например:

30 * ³/₄ = (30+15)/2= 22¹/₂ (или 22,5)

Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины.

Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 1¹/₂, (потому что 10*1¹/₂ =15) Например:

18*15=18*1¹/₂*10=270

45*15=450+225=675

Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 1¹_/4 (потому что 100*1¹_/4⁼125). Например:

26*125 = 26*100*1¹_/4 = 2600 + 650 = 3250

47*125 = 47*100*1¹_/4 = 4700+4700/4= 4700+1175 = 5875

Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на ³/₄ (потому что 100*³/₄=75). Например:

18*75= 18*100*³/₄ =1800* ³/₄ =(1800 + 900)/2=1350

Примечание. Некоторые из приведенных примеров удобно выполняются также приемом § 6

18*15 = 90*3 = 270

26*125 = 130*25 = 3250

Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое. Например:

62*9=620-62=600—42=558

73*9=730-73=700—43=657

Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое. Например:

87*11=870+87=957

Чтобы устно разделить число на 5, отделяют запятой в удвоенном числ-последнюю цифру. Например:

68:5=136:10=13,6

237:5 =474:10=47,4

Чтобы устно разделить число на 1¹_/2 делят удвоенное число на 3. Например:

36:1¹_/2=72:3=24

53:1¹_/2=106:3=35¹/₃

Чтобы устно разделить число на 15, делят удвоенное число на 30. Например

240:15=480:30=48:3=16

462:15=924:30=30²⁴/₃₀=30⁴/₅=30,8 (или 924:30 =308:10=30,8)

Чтобы возвысить в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (8*9=72) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225). Еще примеры:

25²; 2*3=6; 625

45²; 4*5= 20; 2025

145²; 14*15 = 210; 21025

Прием этот вытекает из формулы (10х+5)² = 100х²+100х+25=100х(х+1)+25

Сейчас указанный прием приложим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5:

8,5² = 72,25

14,5²⁼210,25

0,35² = 0,1225_f и т. п.

Так как 0,5= ½, а 0,25 = ¼, то приемом § 25 можно пользоваться также и для возвышения в квадрат чисел, оканчивающихся дробью ½:

(8½ )² =72 ¼

(14½)² = 210 ¼ и т п.

При устном возвышении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой (a +-b)² = a² +b²+- 2ab.

Например: 41²⁼40² +1+2*40= 1601+80= 1681

69²=70²+1-2*70=4901-140=4761

36² =(35+1)²=1225+1+ 2*35=1296

Прием удобен для чисел, оканчивающихся на 1, 4, 6 и 9.

(а+b) (а-b) = а² — b²

Пусть требуется выполнить устно умножение 52*48

Мысленно представляем эти множители в виде (50 + 2)*(50—2)

и применяем приведенную в заголовке формулу:

(50+2)*(50—2)=50²-2²= 2496

Подобным же образом поступают во всех вообще случаях, когда один множитель удобно представить в виде суммы двух чисел, другой — в виде разности тех же чисел:

69X71=(70—1)*(70+1)=4899

33X27=(30+3)*(30—3)=891

53X57=(55—2)*(55+2)=3021

84X86=(85-1)*(85+1)=7224

Указанным сейчас приемом удобно пользоваться и для вычислений следующего рода:

7 ½*6½=(7 + ½ )*(7 — ½)=48 _¾

11 ³/₄*12 ¹/₄= (12 - ¹/₄)*(12 +¹/₄) =143 ¹⁵/₁₆